Persamaan Bola

Definisi Bola

Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut jari-jari Bola.

 Persamaan Bola

Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;

    S= x² + y² + z² = r² ....(I)

Persamaan bola untuk pusat M(a,b,c) dan berjari-jari r (perhatikan gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:

MP = OP – OM

  = (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

  = (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

contoh soal:

1.      Tentukan persamaan bola dengan pusat M(-2, 3, 1) dan jari-jari=2 !

Jawab :

Dik : 

Pusat     = M(-2, 3, 1)

jari-jari = 2

Dit ;

Persamaan Bola ?

Penyelesaian :

      (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

      (x – (-2))² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4

      (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4

      ( X² + 4x + 4) +  (y² – 6y + 9) +  (z² – 2z + 1)  = 4

   X² + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  = 4

   X² + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  -  4 = 0

   X²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 4+ 9+ 1  -  4 = 0

   X²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0

Jadi, persamaan bola yang berpusat pada titik M(-2,3,1) adalah dan jari-jari 2 adalah 

x²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0