Garis Sebagai Kurva Berderajat Satu

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

 Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut. 

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2) Þ A(1) + B(2) + C = 0 ÞA + 2B + C = 0 ---------------------------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4) Þ A(3) + B(-4) + C = 0 Þ -3A + 4B + C = 0 ------------------------ pers. 2

Garis melalui C(5, 0) Þ A(5) + B(0) + C = 0 Þ 5A + C = 0 --------------------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel −𝐴+2𝐵+𝐶=03𝐴+4𝐵+𝐶=05𝐴+𝐶=0

𝐴+2𝐵+𝐶=0

3𝐴+4𝐵+𝐶=0

5𝐴+𝐶=0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut : 

𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝑪=𝟎 ⇒𝑩𝒚= −𝑨𝒙−𝑪 ⟹𝒚= −𝑨𝑩𝒙− 𝑪𝑩 ⟹𝒚=𝒎𝒙+𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Contoh 2:

Persamaan kurva berderajat satu pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan garis bergradien dengan langkah sebagai berikut.

x + 2y - 5 = 0 Þ 2y = -x + 5 Þ 𝒚= −𝟏𝟐𝒙+ 𝟓𝟐

maka gradien garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) adalah m = - ½ yaitu bergradien negatif. Sudut inklinasi yang dibentuk garis tersebut yaitu :

𝜶=𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 (−𝟏𝟐)≈−𝟎,𝟒𝟔𝟒 𝒓𝒂𝒅 ≈ −𝟐𝟔,𝟓𝟕° ≈𝟏𝟓𝟑,𝟒𝟑°

Pertanyaan 3 - 1 : Deskripsikan bentuk masing-masing garis berdasarkan gradien dan sudut inklinasi yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 3. Berbagai bentuk garis dengan gradient dan sudut berbeda

Penyelesaian :

Diketahui : Empat garis berbeda p = AB, q = AC, r = BC, dan s = BD

Ditanyakan : Bentuk garis p, q, r dan s berdasarkan gradien dan sudut inklinasi … ?

Identifikasi masalah : Tiap garis melalui paling sedikit dua titik berbeda. Jika diketahui koordinat kedua titik yang dilalui garis maka dapat ditentukan persamaan garis bergradien dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Atau dapat menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku untuk menentukan gradien suatu garis. Sebagai contoh garis p = AB melalui titik A(1, 1) dan B(5, 4). Ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku ADB. Kemiringan garis AB membentuk sudut ÐBAD

sehingga kemiringan garis dapat ditentukan dari nilai tangen ukuran sudut  ÐBAD 

𝒎= 𝐭𝐚𝐧∡ 𝑩𝑨𝑫= |𝑫𝑩̅̅̅̅̅|/|𝑨𝑫̅̅̅̅| 

Sudut inklanasi garis ditentukan dengan mencari nilai arc tan dari gradien.

Langkah penyelesaian :

Cara 1 : Metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) untuk garis r = BC yang melalui titik B(5, 4) dan C(7, 1)

Langkah 1 : Substitusi koordinat titik-titik ke dalam persamaan garis y = mx + c

Garis melalui titik B Þ 4 = 5m + c

Garis melalui titik C Þ 1 = 7m + c

Langkah 2 : Metode eliminasi SPLDV

Langkah 3 : Substitusi nilai m dan c ke dalam persamaan garis y = mx + c

Persamaan garis yaitu 𝑦=−32𝑥+232